EDO – Método da Variação dos Parâmetros

Bom dia galera,

Vou postar aqui pra vocês a aula que tive de EDO semana passada. Achei muito interessante e achei por bem compartilhar aqui no blog.

O Método da Variação dos Parâmetros ou Método de Lagrange é um método muito mais poderoso. Consiste no método dos coeficientes a determinar, afim de obter uma solução particular de uma EDO ordinária linear uma vez que resolve equações com coeficientes variáveis.

Vamos ao que interessa:

Considere a EDO de 2ª ordem:

y''+p(t)y'+q(t)y = g(t)\,\,\,\,(1); em que p,q,g são contínuas em um intervalo aberto I.

Suponha já conhecida uma solução geral da equação homogênea y''+p(t)y'+q(t)y = 0\,\,\, (2) associada à equação não homogênea (1)

Considere que y_1 e y_2 formam um conjunto fundamental das soluções para a Eq (2).

O método consiste em supor que:

y = u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t)\,\,\,\,(3)

Como solução particular da equação (1) – Lembrando que u_1 e u_2 são funções que dependem da variável t, não são aquelas mesmas constantes quanto acha a solução geral da EDO de 1ª ordem c1 e c2, no entanto, podemos comparar de modo análogo o raciocínio.

Derivando a função y em relação a t temos:

y' = (u_1y_1)'+(u_2y_2)' = u'_1y_1+u_1y'_1 + u'_2y_2+u_2y'_2

Agora vem a “sacada” de Lagrange: vamos supor que:

u'_1y_1+u'_2y_2 = 0\,\,\,(*)\Rightarrow y' = u_1y'_1+u_2y'_2\,\,\,(4)

Um pausa: Confesso que na hora não entendi a conveniência de considerar essa hipótese para prosegguir a demonstração, parecia que ele estava particularizando o caso, mas na verdade está, pois quando há essa restrição teremos que verificar as condições de solução para a EDO restante, utilizaremos a equação (*) mais a frente.

Uma pequena e não suficiente justificativa encontra-se nesse tópico nesse forum.

Voltando…

Derivando y' temos:

y'' = u_1y_1+u_1y''_1+u'_2y'_2+u_2y''_2\,\,\,(5)

Substituindo as Eqs (3), (4) e (5) em (1), obtemos, após a simplicação isso:

u_1(\underbrace{y''_1+py'_1+qy_1}_{=0})+u_2(\underbrace{y''_2+py'_2+qy_2}_{=0})+u'_1y'_1+u'_2y'_2 = 0\,\,\,(6)

Como y_1 e y_2 são soluções da homogênea associada, segue que a Eq(6) se reduz a:

u'_1y'_1+u'_2y'_2 = g(t)

Em suma, temos o seguinte sistema

\begin{cases} u'_1y_1+u'_2y_2 = 0\\ u'_1y'_1+u'_2y'_2 = g(t) \end{cases}

Este sistema possui solução única em u'_1 e u'_2, pois o W(y_1,y_2)(t) \neq 0

Pela regra de Cramer temos:

u'_1(t) = \frac{\begin{vmatrix} 0 & y_2 \\ g(t) & \Large y'_2\end{vmatrix}}{W(y_1,y_2)(t)}                  e                u'_2(t) = \frac{\begin{vmatrix} y_1 & 0 \\ y'_1 & \Large g(t)\end{vmatrix}}{W(y_1,y_2)(t)}

Dai,

u'_1 = \frac{-y_2g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}         e       u'_2 = \frac{y_1g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}

Integrando as duas expressões temos finalmente

u_1(t) = -\int \frac{y_2(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}dt+c1

e

u_2(t) = \int \frac{y_1(t)g(t)}{W(y_1,y_2)(t)}dt+c2

Logo, uma solucão geral para a Eq(1) é:

y(t) = y_c + Y = \underbrace{c_1y_1+c_2y_2}_{\text{solucao homogenea}} + \underbrace{u_1(t)y_1 + u_2(t)y_2}_{\text{a solucao logo acima}}

Bem, espero que tenha gostado e ajude de alguma forma a entender a demonstração desse valioso teorema.

Até a próxima!

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